ENVIRONNEMENT DE RECETTE

Préparation au Bac - Spécialité

Les annales du Bac

Exercice 1 : Bac Spécialité 2024 Centres étrangers - Exercice 3 - Équation différentielle

On considère l'équation différentielle \[(E_{0}): y'=4y\]
où \(y\) est une fonction dérivable de la variable réelle \(x\).

1. Donner l'unique fonction constante solution de l'équation différentielle \((E_{0})\).
2. Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle \((E_{0})\).

On donnera la réponse sous la forme \(y=f(x, k)\), avec \(f\) la forme générale de la solution et \(k \in \mathbb{R}\) une constante.

On considère l'équation différentielle \[(E): y'=-5\operatorname{sin}{\left(x \right)} -3\operatorname{cos}{\left(x \right)} + 4y\]
On introduit la fonction \(h\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=\operatorname{cos}{\left(x \right)} + \operatorname{sin}{\left(x \right)}\).
On admet qu'elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\).

3. Calculer la dérivée de \(h(x)\).
4. Exprimer \(h'\) en fonction de \(h\).
5. On considère une fonction \(f\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Parmi les quatre propositions, laquelle est vraie ?
6. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle \((E)\).
On donnera la réponse sous la forme \(y=f(x, k)\), avec \(f\) la forme générale de la solution et \(k \in \mathbb{R}\) une constante.
7. Déterminer l'unique solution \(g\) de l'équation différentielle \((E)\) telle que \(g(0)=0\).
8. Calculer : \[ \int_{0}^{{{\pi}/2}} g(x) \, dx \]

Exercice 2 : Bac S 2013 métropole - Exercice 1 - Probabilités

Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : \( 70 \)% des plants proviennent de l’horticulteur \( H1, 25 \)% de l’horticulteur \( H2 \) et le reste de l’horticulteur \( H3 \).
Chaque horticulteur livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres à feuilles. La livraison de l’horticulteur \( H1 \) comporte \( 70 \)% de conifères alors que celle de l’horticulteur \( H2 \) n’en comporte que \( 55 \)% et celle de l’horticulteur \( H3 \) seulement \( 40 \)%.

Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.

On envisage les événements suivants :
  • \( H1 \) : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur \( H1 \) »,
  • \( H2 \) : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur \( H2 \) »,
  • \( H3 \) : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur \( H3 \) »,
  • \( C \) : « l’arbre choisi est un conifère »,
  • \( F \) : « l’arbre choisi est un arbre feuillu ».
Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur \( H3 \).
Calculer la probabilité de l'événement \( C \).
L’arbre choisi est un conifère.
Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur \( H1 \) ?
On donnera un résultat arrondi au dixième de pourcent.

On choisit au hasard un échantillon de \( 10 \) arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de \( 10 \) arbres dans le stock. On appelle \( X \) la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi.

Quel est le paramètre p de la loi binomiale que suit \( X \) ?
Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement \( 9 \) conifères ?
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \).
Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins \( 6 \) arbres feuillus ?
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \).

Exercice 3 : Bac Spécialité 2024 Amérique du Nord - Exercice 2 - Géométrie dans l'espace

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\)

1. On considère les points \(A(0 ; 1 ; 1)\) et \(B(-4 ; 4 ; -1)\).
Un représentation paramétrique de la droite \((AB)\) est :

On considère la droite \((d)\) de représentation paramétrique:

\( \begin{cases} x = 1 -5t\\ y = -2 + 2t\\ z = -3 + t \end{cases} \) avec \(t \in \mathbb{R}\)

2. Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite \((d)\) ?
3. On considère la droite \((d')\) de représentation paramétrique:
\( \begin{cases} x = 6 -10k\\ y = -6 + 4k\\ z = -2 + 2k \end{cases} \) avec \(k \in \mathbb{R}\)

Les droites \((d)\) et \((d')\) sont :
4. On considère le plan \((P)\) passant par le point \(I(-1 ; 1 ; 3)\) et perpendiculaire à la droite \((d)\).
Une équation du plan \((P)\) est :

Exercice 4 : Bac S 2015 métropole - Exercice 2 - Géométrie dans l'espace

Dans un repère orthonormé \((O; I; J; K )\), on considère les points

  • \(C \left(4\ ;15\ ;5\right) \)
  • \(D \left(4\ ;4\ ;5\right) \)
  • \(L \left(7\ ;12\ ;8\right) \)
  • \(M \left(-10\ ;12\ ;13\right) \)

Un point \(Q\) se déplace sur la droite \(( C D )\) dans le sens de \( C \) vers \( D \)
Un point \(R\) se déplace sur la droite \(( L M )\) dans le sens de \( L \) vers \( M \)
À l'instant \(t=0\) le point \( Q \) est en \( C \) et le point \( R \) est en \( L \).
On note \( Q_{t} \) et \( R_{t} \) les positions des points \( Q \) et \( R \) au bout de \(t\) secondes, \(t\) désignant un nombre réel positif.

On admet que \( Q_{t} \) et \( R_{t} \) ont pour coordonnées respectives \(\left(4\ ;15 -11t\ ;5\right)\) et \(\left(7 -17t\ ;12\ ;8 + 5t\right)\).

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

La droite \(( C D )\) est parallèle à l'un des axes \( ( OI ) \), \( ( OJ ) \) ou \( ( OK ) \). Lequel ?
La droite \( ( L M )\) se trouve dans un plan \( \mathcal{P} \) parallèle à l'un des plans \( ( OIJ ) \), \( ( OIK ) \), \( ( OJK ) \). Lequel ?
Quelle est l'équation de ce plan \( \mathcal{P} \) ?
Quelles sont les coordonnées du point d'intersection entre la droite \( ( C D )\) et le plan \( \mathcal{P} \) ?
Les droites \( ( C D )\) et \( ( L M )\) sont-elles sécantes ?
Calculer l'expression de (\( \left. Q_{t} R_{t} \right.) ^ {2} \) en fonction de \(t\).
On donnera la réponse sous une forme développée et réduite.
À quel instant \(t\) la longueur \( Q_{t} R_{t} \) est-elle minimale ?
On donnera directement la valeur de \(t\) avec une précision de \(10^{-2}\).

Exercice 5 : Bac Spécialité 2024 Métropole - Exercice 4 - Géométrie dans l'espace

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points suivants :
\[ A\left(1;-5;5\right), B\left(-3;3;-4\right), C\left(1;-1;3\right), D\left(-3;-5;0\right) \text{ et } H\left(-5;-2;-4\right) \]

Affirmation 1 : les points \( A, C \text{ et } D \) définissent un plan \( P \) d'équation \( 5x -2y -4z + 5 = 0 \)
Affirmation 2 : les points \( A, B, C \text{ et } D \) sont coplanaires.
Affirmation 3 : les droites \( (AC) \text{ et } (BH) \) sont sécantes.

On suppose que le plan \( (EFG) \) a pour équation cartésienne \( -4x + 3y -4z -30 = 0 \).

Affirmation 4 : le point \( H \) est le projeté orthogonal du point \( D \) sur le plan \( (EFG) \).
Revenir au choix du niveau
False